Artículo #3. La Matemática en la Geometría Sustentable
®Todos los derechos reservados. Se autoriza la reproducción del material contenido en este sitio siempre y cuando se cite la fuente y se respete la integridad del texto. Autor del documento: Arturo Ponce de León para Psicogeometría México. Colaboración: Ninón Fregoso.
¿Qué
es el Número Aureo o "phi"?
Phi
(1.618033988749895... ), pronunciado como fi, es un numero
irracional como Pi ( 3.14159265358979... ), pero con muchas
características matemáticas inusuales. Phi
es la base de la Proporción Dorada. La razón
o proporción determinada por Phi (1.618...) era
conocida por los Griegos como la “Sección
Dorada” y por los artistas del renacimiento como
la “Proporción Divina”. También
se le conoce como la razón Dorada o la Proporción
Áurea.
Phi, como Pi, es una razón definida por una construcción
geométrica.
Pi es la relación de la circunferencia de un círculo
respecto a su diámetro. Phi es la proporción
de los segmentos de una línea que resultan cuando
una línea es dividida de una forma única
y especial.
La
línea es dividida para que la proporción
de la longitud de la línea entera (A) respecto
a la longitud del segmento de la línea mayor (B)
sea igual que la proporción de la longitud del
segmento de la línea mayor (B) a la longitud del
segmento de la línea menor (C)
Esto
es que A es 1.618... veces B, y B es 1.618… veces
C. Recíprocamente, C es 0.618... de B y B es 0.618...
de A. Phi con mayúscula "Phi" es 1.6180339887...,
mientras que phi con minúscula es 0.6180339887,
el reciproco de Phi o Phi menos 1.
Lo
que hace a phi incluso mas inusual es que puede derivarse
de muchas formas y ser encontrado en proporcionalmente
en el universo. Phi F puede ser derivado por: la serie
numérica descubierta por Leonardo Fibonacci, matemáticas
y geometría.
Phi
y la serie de Fibonacci
Leonardo
Fibonacci, por herencia del mundo árabe, descubrió
la serie que nos lleva a phi. En el siglo XII, Leonardo
Fibonacci descubrió una serie numérica simple
que es la base de la increíble relación
que encontramos detrás de phi. Empezando con 0
y 1, cada número de la serie es simplemente la
suma de los dos anteriores. Así: 0, 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .
La
razón (proporción) de cada par sucesivo
de números en la serie se aproxima a phi (1.618.
. .). Así si dividimos 5 entre 3 es 1.666..., y
8 entre 5 es 1.60. En la medida en la que vamos mas lejos
del 0 (punto de inicio de la secuencia) nos acercamos
al valor de phi.
La
tabla de abajo nos muestra como las proporciones de números
sucesivos en la serie Fibonacci se aproxima a Phi.
Puedes
computar cualquier número de la serie Fibonacci
fácilmente. Usa phi para saber cualquier numero
(n) de la serie Fibonacci (f)
fn
= Fn / 5½
Phi
puede derivarse matemáticamente resolviendo la
ecuación:
n2 - n1 - n0 = 0 que es lo mismo que n2 - n - 1 = 0
Esta ecuación la rescribimos y nos queda así:
n2 = n + 1 y 1 / n = n - 1
La solución a la ecuación es la raíz
cuadrada de 5 más 1 dividido entre 2
( 5½ + 1 ) / 2 = 1.6180339... = F
Esto
resulta en dos propiedades únicas de phi:
Si elevas al cuadrado a phi, obtienes un numero exactamente
1 mayor que phi: 2.6180...
F2 = F + 1
Si divides a phi entre 1, obtienes un numero exactamente
a 1 menos phi: 0.6180...:
1 / F = F - 1
Phi,
curiosamente, puede ser expresado en cinco: 5 ^ .5 * .5
+ .5 = F
Puedes
usar phi para computar un número n en la serie
Fibonacci (fn): fn = Fn / 5½
Como
por ejemplo, el número 40 de la serie Fibonacci
es 102, 334, 155, que puede expresarse
f40 = F40 / 5½ = 102,334,155
Este
método en realidad nos provee un estimado que siempre
esta cerca del numero correcto Fibonacci.
Funciones
trigonométricas
También
Phi puede ser relacionada a Pi por funciones trigonométricas.
Phi puede ser relacionado con “e”, base de
los logaritmos naturales, por el inverso hiperbólico
de la función seno: F = e ^ asinh(.5)
Puede
ser expresado como un límite, dándonos una
idea de su capacidad de auto recurrencia:
Es
importante mencionar que phi es tanto una razón
aritmética como una razón geométrica.
Pero, ¿qué entendemos por razones matemáticas?
Razones
matemáticas
El
termino “razón” en matemática
significa una relación específica de un
numero como el punto medio respecto a dos extremos.
Razon
aritmetica
En
la imagen se muestra que la razón aritmética
de 2 y 8 es 5, porque 5 esta a la misma distancia entre
ambos si sumamos sus distancias:
2 + 3 = 5 y 5 + 3 = 8
Para
la razón aritmética (b) de 2 números
(a) y (c): b = ( a + c ) / 2
La razón aritmética entonces es el simple
promedio (suma) entre dos números.
Razón
geométrica
La
razón geométrica es similar, pero esta basada
en múltiplos comunes que relacionan su razón
a los otros dos números. Por ejemplo, la razón
geométrica de 1 y 9 es 3, porque 3 esta en la misma
distancia de ambos si se multiplica su distancia:
1*3 = 3 y 3 * 3 = 9
Así
1 es a 3 como 3 es a 9.
Para la razón geométrica (b) de dos números
(a) y (c), b es la raíz cuadrada de a por c.
La
razón Dorada
La
razón Dorada es una razón geométrica
muy específica. En la razón geométrica
de arriba, vimos las longitudes siguientes de segmentos
de línea en una línea de números:
1,3,9.
Aquí,
1 x 3 = 3 y 3 x 3 = 9, pero 3 + 3 = 6, no 9. La razón
Dorada impone el requerimiento adicional que los dos segmentos
que definen la razón también deben sumarse
a la longitud del segmento completo de la línea:
Esto
solamente ocurre en un punto, que como usted puede ver
arriba es solo un poco menos que 5/8, o 0.625. El punto
exacto de la razón Dorada es 0.6180339887..., donde
:
A es a B como B es a C y B + C = A
El
numero 5 esta intrínsecamente relacionado con Phi
y a la serie Fibonacci.
Phi puede ser derivado de varias formulas basadas en el
numero 5. La más tradicional, basada en la construcción
geométrica de phi es: Phi = (v5+1)/2
Esta
formula también puede ser expresada en cincos como
sigue: F = 5 ^ .5 * .5 + .5
Otra
formula para phi basada enteramente en cincos, es: F=
v((5+v5)/(5-v5))
Y,
los términos de la representación de arriba
de phi también pueden ser expresados de otra forma
que involucra al 5: (5+v5) x (5-v5) = 5 + 5 + 5 + 5
Pentágono
Tome
un pentágono con cinco lados iguales y conecte
todos sus puntos para formar una estrella de cinco puntas.
Las razones de la longitud de los segmentos de línea
resultantes están todos basados en phi.
En
la imagen notamos que A:B como B:C como C:D =0.618033
(el inverso de phi)
Puedes
computar un numero n de la serie Fibonacci (fn) usando
phi y la raíz de 5: fn = Fn / 5½
5
también el quinto numero de Fibonacci, en 0,1,1,2,3,5
5
aparece en cuerpo humano, que tiene proporciones basadas
en phi. 5 extensiones del torso, 1 cabeza, 2 brazos, 2
piernas. 5 extensiones de cada brazo y piernas en 5 dedos
cada una. 5 aperturas en la cara y 5 sentidos: vista,
oído, gusto, tacto, olfato.
Espirales
Áureas
Espiral Dorada creando Punto de Implosión en la Tierra
Si sumamos los cuadrados de cualquier serie de los números
Fibonacci, van a igualar el ultimo numero Fibonacci usado
en la serie por el siguiente numero Fibonacci. Esta propiedad
se ve en la espiral dorada que se encuentra desde la concha
del molusco Nautilus a las galaxias: 12 + 12 + 22 + 32
+ 52 = 5 x 8,
entonces, 12 + 12 + . . . + F(n)2 = F(n) x F(n+1)
Nota:
la espiral basada en la serie de Fibonacci es ligeramente
diferente de la espiral perfecta generada por Phi por
las aproximaciones en la serie a Phi. (1, 1, 2, 3, 5,
8 y 13 producen proporciones de 1, 2, 1.5, 1.67, 1.6 y
1.625)
Las
espirales alternas en las plantas ocurren en los números
Fibonacci. Las plantas ilustran la serie de Fibonacci
en el número de sus hojas, en el arreglo de las
hojas alrededor del tallo y en la posición de las
hojas, las secciones y las semillas. Podemos ver en la
imagen el centro de un girasol que ilustra este principio
como 55 espirales en el sentido de las manecillas del
reloj y 89 en contra.
Podemos
apreciar en esta conifera 8 espirales girando hacia un
lado y 13 girando hacia el lado contrario. 8 y 13 son
dDos de ls numeros de la secuencia Fibonacci. El principio
de la creación de la gravedady de la vida. Vea
el trabajo de Dan Winter al respecto aquí.
La
concha del Nautilus y la espiral dorada en la imagen de
abajo
Notamos
la espiral dorada que marca la pauta de distribucion de
los elementos en esta pintura. Vea nuestra sección
de Arte.
Observa las espirales áureas en esta imagen. ¿Puedes ver cuántas giran haciar la derecha y cuántas hacia la izquierda? ¿Serán siempre múltiplos y submúltiplos de la secuencia numerica Fibonacci?
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